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Equazioni di primo grado: come si risolvono in 5 passi, con esempi
In breve. Un'equazione di primo grado si risolve sempre con le stesse cinque mosse: togli le parentesi, porta le x a sinistra e i numeri a destra, riduci, dividi per il numero davanti alla x e verifica. Funziona perché a un'equazione puoi fare qualsiasi cosa, purché la fai a tutti e due i membri.
Che cos'è un'equazione
Un'equazione è un'uguaglianza con un numero sconosciuto, l'incognita, che di solito si chiama x. Risolverla vuol dire trovare il numero che la rende vera. In 2x + 1 = 7 la soluzione è x = 3, perché 2 · 3 + 1 = 7. Con x = 2, invece, viene 5, e 5 non è 7.
Il modo più semplice per pensarla è una bilancia in equilibrio: quello che fai a un piatto lo fai anche all'altro, e l'equilibrio resta. Quello che sta a sinistra dell'uguale si chiama primo membro, quello a destra secondo membro.
Le due mosse permesse
2° principio: puoi moltiplicare o dividere entrambi i membri per lo stesso numero, purché diverso da 0.
Dal primo principio nasce il trasporto: un termine passa da un membro all'altro cambiando segno. Dal secondo nasce l'ultima mossa: il numero davanti alla x passa dall'altra parte come divisore, per esempio 4x = 20 diventa x = 20 : 4 = 5.
Le cinque mosse, sempre nello stesso ordine
- Togli le parentesi.
- Porta i termini con la x a sinistra e i numeri a destra, cambiando segno a quelli che attraversano l'uguale.
- Riduci i termini simili.
- Dividi per il numero davanti alla x.
- Verifica: sostituisci la soluzione nell'equazione di partenza.
2x − 6 = 4 − x − 1
2x + x = 3 + 6
3x = 9 → x = 3
Verifica con x = 3: 2(3 − 3) = 0 e 4 − (3 + 1) = 0 ✓
Equazioni con le frazioni
Se ci sono frazioni, prima di tutto elimina i denominatori: moltiplica tutti i termini, di entrambi i membri, per il minimo comune multiplo dei denominatori. Poi si procede con le solite mosse.
mcm = 6 → 3x + 2x = 30
5x = 30 → x = 6
Una soluzione, nessuna o infinite
Dopo aver ridotto tutto, l'equazione può finire in tre modi diversi.
| Alla fine ottieni | L'equazione è | Soluzioni |
|---|---|---|
| ax = b con a ≠ 0 | determinata | una sola: x = b/a |
| 0 · x = b con b ≠ 0 | impossibile | nessuna |
| 0 · x = 0 | indeterminata | infinite |
3(x − 1) + 3 = 3x → 3x = 3x → 0x = 0: indeterminata, va bene qualsiasi numero.
Dai problemi all'equazione
Molti esercizi sono problemi scritti a parole. Il metodo è sempre lo stesso: scegli l'incognita e scrivi che cosa rappresenta, traduci i dati in un'equazione, risolvi, e alla fine controlla che la soluzione abbia senso (un'età non può essere negativa, i pezzi devono essere interi).
Fra x anni: 40 + x = 2(12 + x)
40 + x = 24 + 2x → x = 16
Controllo: fra 16 anni avranno 56 e 28 anni, e 56 = 2 · 28 ✓
Mettiti alla prova
1. Risolvi 3x − 7 = 2x + 5
3x − 2x = 5 + 7, quindi x = 12.
2. Risolvi 4(x − 2) = 2x + 6
4x − 8 = 2x + 6 → 4x − 2x = 6 + 8 → 2x = 14 → x = 7.
3. Risolvi x/3 + x/4 = 7
Il mcm è 12: 4x + 3x = 84 → 7x = 84 → x = 12.
4. La somma di tre numeri consecutivi è 48. Quali sono?
x + (x + 1) + (x + 2) = 48 → 3x + 3 = 48 → 3x = 45 → x = 15. I numeri sono 15, 16 e 17.
Domande frequenti
Che differenza c'è tra un'equazione e un'identità?
Un'equazione è vera solo per alcuni valori della x. Un'identità è vera per tutti, come 2(x + 1) = 2x + 2: se la risolvi arrivi a 0x = 0.
Perché non si può dividere per zero?
Il secondo principio vale solo con un numero diverso da 0: dividere per 0 non ha significato. Per questo, quando nell'equazione compaiono altre lettere, prima di dividere bisogna chiedersi se il divisore può essere 0.
Come capisco se ho sbagliato?
Con la verifica: sostituisci la soluzione nell'equazione di partenza. Se i due membri danno lo stesso numero, è giusta.
